这个特性，数学家们常说在双曲空间中很容易迷失方向。如果你的朋友在普通的欧几里得空间里离你而去，他们会开始看起来更小，但很慢，因为你的视觉圈并没有增长得那么快。但在双曲空间中，你的视觉圈呈指数级增长，所以你的朋友很快就会缩小成指数级的小点。如果你没有仔细地跟踪你朋友的路线，以后几乎不可能找到他们。在双曲几何中，三角形的内角和小于180度，例如，在我们的庞加莱圆盘的平铺中，三角形的内角和为165度：这些三角形的边看起来不首，但那是因为我们通过一个扭曲的镜头来观察双曲几何。对于居住在庞加莱圆盘上的人来说，这些曲线就是首线，因为从A点到B点最快的方式是走一条通向中心的捷径：有一种很自然的方法可以制作一个三维的庞加莱圆盘模型——简单地制作一个三维球体，然后用三维形状填充它，当它们接近边界球体时，就会变小，就像庞加莱圆盘上的三角形一样。就像平面几何和球面几何一样，我们可以通过切割三维双曲球的合适部分并将其表面粘合在一起，从而得到其他三维双曲空间的组合。我们的宇宙是双曲线吗？双曲几何，以其狭窄的三角形和指数增长的圆圈，似乎不适合我们周围空间的几何形状。事实上，正如我们己经看到的，到目前为止，大多数宇宙测量似乎都倾向于平坦的宇宙。但我们不能排除我们生活在一个球形或双曲线世界的可能性，因为这两个世界的小块看起来几乎是平坦的。例如，在球面几何中，小三角形的内角和仅略大于180度，而在双曲几何中，小三角形的内角和仅略小于180度。这就是为什么早期的人们认为地球是平的——在他们能够观察到的尺度上，地球的曲率太小而无法探测到。球形或双曲线形状越大，每个小块平坦的，所以如果我们的宇宙是一个非常大的